连续不一定可导如何证明 连续一定可导吗？

连续不一定可导如何证明

连续一定可导吗？

连续一定可导吗？

因为如果这个函数前提是连续的设f(x)|x|这个函数连续，到时在x0的时候f(x)不可导，这就是连续不一定可导。
在微积分学中,一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。
如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用yf（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征

一个函数可导，怎么证明它的导数连续？

证明:用反证法，设
lim (x趋于a) f(x) L，就是要证 L f(a)，那么我们先假设L f(a)。
如此一来，取L (L f(a)) / 2 f(a)，根据函数极限的定义，对于
epsilon (L-f(a))/2 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，
| f(x) - L | L - epsilon L。
然后考虑在a点导数的定义:
lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) f(a)，
考虑闭区间 [a,x] (或者 [x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的)，由于函数在该闭区间上连续，在开区间 (a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在 c 属于 (a,x)，使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) f(c)，
接着，由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)(注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间)，到那个时候，就总是有
f(c) L，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有
f(a) L f(a)，这显然是一个矛盾。
同理，你也可以证明，当L