微分算子运算性质证明
数学里dy，dx，dy/dx，微分到底是啥，网上都是概念搞不懂，有没有大神能用口语回答一下，谢谢？
数学里dy，dx，dy/dx，微分到底是啥，网上都是概念搞不懂，有没有大神能用口语回答一下，谢谢？
口语的回答就是：
dy 是yf(x) 在x点的切线（在以x为原点的局部坐标系下）的函数解析式；dx是恒等函数id(x)x 在x点的切线的函数解析式，还是个恒等函数；dy/dx 是 yf(x) 在 x 点的切线的斜率。具体分析如下。
我们知道，可微函数 yf(x) 在直角坐标系下 XOY 对应一条曲线，
对于坐标轴X上的任意实数点x，都有曲线上一点P(x, f(x)) 对应，过P有曲线的唯一一条切线（可微函数，切线存在），在以 P点为圆心的局部坐标UPV下，切线又对应函数：
其中，K为曲线斜率。
l是一个实数集上的线性函数，满足性质①：
曲线在局部坐标UPV下的函数（称为增量函数），
与其之差，记为，
是关于Δx的高阶无穷小量，即，
如果 用表示实数集合，用*表示实数集上全体线性函数，则 对于每个实数 x∈，有一个线性函数l ∈* 与之对应， 这就意味着，我们得到一个 从 到 * 的映射，这个映射是通过 函数f 构造出来的，所以 记为，
这就是函数f的整体微分。相应的，线性函数，
被称为函数f在点x处的微分。
根据性质① 有，
令，
称 f 为 f 的导函数，f(x) 为 f 在 x点的导数。
再考虑 恒等函数 ，
求得，
于是，结合 (1) 和(2)有，
进而，定义(1)最终改写为，
也写成，
这就是《高等数学》中我们熟悉的样子。
最后，用C()表示全体连续实函数，用C1()表示全体1次可微实函数，则 对于每个 f∈C1()，都有一个 f∈C() 与之对应，这样我们就得到了一个映射 D：C1()→ C()，
称为 微分算子。
其实，微分标志d 本质上也是一个映射d： C1()→(→*)。
总结：
可微函数yf(x) 在x点的微分 dydf(x)f(x)(Δx) 是一个线性函数，f在 x点处切线，在以(x, f(x)) 为原点的局部坐标下对应的 函数解析式；对于恒等函数 id(x) x ，有 dx Δx，也就是说，恒等函数的 微分总是它自己 在以(x, x) 为原点的局部坐标下对应的 函数解析式；微分算子，Df (d/dx) f 保证 对于每一个点x，Df(x) (d/dx)f(x) 是 f在 x点处切线 的斜率。
拉普拉斯算符运算规则？
拉普拉斯算子运算公式是a*b|a|*|b|*cosθ，拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度▽f的散度▽·f。拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。