如何用泰勒公式证明同阶无穷小
泰勒公式是什么意思？
泰勒公式是什么意思？
泰勒公式的推导运用了多次柯西中值定理，目的是，要找到f(x)的n阶展开式，并使误差项Rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小，就要用柯西中值定理证明余项Rn(x)是存在的，而且是可求出来的。
在所给出的展开式中，Rn(x)被写在最后一项，把前面的n个含(x-x0)的代数式以及f(x0)都减到f(x)的一边,就得到了Rn(x)的表达式，因为题设f(x)有n 1阶导数，且(x-x0)^n的系数由f(x)的前n阶导数给出，自然有Rn(x0)0，Rn在x0点的前n阶导数都为零，第n 1阶导数时，(x-x0)^n求导后全部导成常数零，等号这边只剩了n 1阶可导的f(x)。即你第一处红笔画线处成立。
这样在n次使用柯西中值定理后，未知的Rn(x)的n 1阶导数可由f(x)的n 1阶导数所替换。Rn(x)被精确表示。第二。泰勒展开是在某点对f(x)进行展开，从而估计这一点附近的f(x)的值，使e^x这样无法求值的函数可求。
所以x是在一个小区间(x0附近)来取值的，因此f n 1(x)有界，可设为M 。
这样就可以对所造成的误差作最坏的估计，从而保证估值的精确。
tanx的同阶无穷小是什么？
tanx~x(x→0)
以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。
相关内容解释：
求极限时，使用等价无穷小的条件：
1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为0。
2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。
等价无穷小是什么意思？
指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)0，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。
等价无穷小是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。等价无穷小也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。