范德蒙德型行列式怎么证明
范德蒙公式用法？
范德蒙公式用法？
范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列式.若递归方程的n个解为a1,a2,a3,...,an
则范德蒙行列式为： | 1 1 1 1 ... 1 | | a1 a2 a3 ... an | | a1^2 a2^2 ^2 . | | ... .... | | a1^(n-1) a2^(n-1) ^(n-1) | 共n行n列用数学归纳法. 当n2时 范德蒙德行列式D2x2-x1范德蒙德行列式成立
现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有: 首先要把Dn降阶,从第n行起用后一行减去前一行的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1于是就有Dn∏ (xi-xj)(其中∏ 表示连乘符号,其下标i,j的取值为mgtigtjgt2),原命题得证.
lagrange基函数是怎样构造的？
这是一个简单的Lagrange插值问题
，一般就是根据给出的个离散点（的坐标互异），通过一个阶多项式进行拟合，理论上上一定能找到这样的一个阶多项式，使得该多项式构造的函数经过所有的样本点，Lagrange就是这类多项式的一个具体实现。
举个简单例子，假设给出这样一组数据（样本点），其中，那么一定可以找到这样一个多项式使得都有，即该多项式经过所有给出的样本点。
为什么这个命题就能成立呢，稍微根据一点线性代数的知识就能推论出来。我们假设这样一个多项式存在，那么其显然要满足如下方程：
我们知道左侧矩阵为一个范德蒙德方阵
，而彼此互异，该行列式不为零，方程存在唯一解，于是存在性得到证明。那么剩下的问题就是如何找出这样一个多项式（不通过粗暴的解方程实现），而Lagrange插值就是简单构造出这样的一个解，其具体构造如下：，其中就是你所说的单位（基）函数，其表达式如下：，显然有，Lagrange函数就是这些基函数（阶多项式的线性组合），很容易验证其通过所有样本点。最后给出一个具体的算例，假设有四个离散点，那么简单通过polyfit就能给出其3阶多项式的拟合结果（也就是Lagrange插值结果），如下图中的黑色虚线所示：而其基函数（乘以）则为其它彩色实线，参考代码：