6阶循环群的生成元有几个
15阶群有几个子群?
15阶群有几个子群?
设有两个。由于5是素数,因此这两个群为和,由a和b生成,且完全无交集。a^n和b^m对于所有m和n都不等(只要有一个等,那么生成的就是恒等的群)
则15阶必然存在两个两个元素a和b都是5阶,且a^n和b^m对于所有m和n都不等。
则ab不在也不在里面,同理ab^2...等等。但注意这两个群都是子群,因此
,,{ab,ab2,ab3,ab4},{a2b,a3b,a4b,a5b}必须都在原群里。
但一共多了三个元素,因此最后两个集合肯定有某些元素相等,因为他们不可能等于前面的和,否则明显推出开头的。因此ab^ma^nb对于某个m和n,推得a^qb^pe,因此
ab^(-p-q),则矛盾
也就是说,任何两个5阶循环群和都是相等的。
由一个元素生成的群一定是循环群吗?还有循环群一定是由一个元素生成吗?
由一个元素生成的群一定是循环群,因为循环群就是能由一个元素生成的。循环群的定义就是其中的任一元素都能表示成某个固定元素的幂。另外,循环群也是交换群。 第二个问题:循环群可以由一个元素生成,这个元素称为循环群的生成元,循环群的生成元可以不唯一。
共轭子群的性质及应用?
性质主要有二:
1、它的所有左右陪集均对应相等;(正规子群的定义)
2、它是商群的单位元。其中商群的元素是不变子群及其所有陪集。(商群的定义)
说等价其实不太恰当.
因为这里的正规子群列是比较随意的,
即便G可解, 并要求G_i/G_{i 1}都是Abel群,
也不保证G_i/G_{i 1}是素数阶循环群.
最简单的例子如G是一个非循环群的Abel群, 可取G_1 G, G_2 {1}.
较为确切的刻画应该是: 存在正规子群列, 使G_i/G_{i 1}都是素数阶循环群.
因为循环群都是Abel群, 所以充分性是显然的.
而必要性是由于有限Abel群存在正规子群列, 使商群为素数阶循环群(有限Abel群结构定理保证).
所以可以对可解群的正规子群列进行加细, 使各商群都是素数阶循环群.
更直接一点, 可以考虑G的合成列:
即一个正规子群列, 使各商群均为非平凡的单群.
不计顺序, 则这些商群的同构类与合成列的选取无关, 称为G的合成因子.
G可解当且仅当其合成因子都是素数阶循环群.