平面圆的面积怎么测
已知圆面积，能否尺规作图一个相同面积的正方形？
已知圆面积，能否尺规作图一个相同面积的正方形？
化圆为方是古希腊尺规作图问题之一，即：求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。由π为超越数可知，该问题仅用直尺和圆规是无法完成的。但若放宽限制，这一问题可以通过特殊的曲线来完成。如西皮阿斯的割圆曲线，阿基米德的螺线等。
化圆为方
相关研究
其一
方圆的问题与提洛斯问题是同时代的，由希腊人开始研究。有名的阿基米德把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r，圆周就是2πr，面积是πr2。由此若能作一个直角三角形，其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r，则这三角形的面积就是：
S?×2πr2＝πr2
与已知圆的面积相等。由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。但是如何作这直角三角形的边。即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长，这问题阿基米德可就解不出了。
二千年间，尽管对化圆为方问题上的研究 没有成功，但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰（公元前430）为解决此问题而提出的 「穷竭法」，是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形（或正6边形），然后每次 将边数加倍，得内接8、16、32、…边形，他相信「最后」的正多边形必与圆周重合， 这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的，但却提供了求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导，与中国刘徽的割圆术不谋而合，对穷竭法等科学方法的建立产生直接影响。
其二
其实，若不受标尺的限制，化圆为方问题并非难事，欧洲文艺复兴时代的大师意大利数学家达芬奇（1452－1519）用已知圆为底，圆半径的?为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，所以所得矩形的面积(r/2)×2πrπr2，然后再将矩形化为等积的正方形即可。
现已证明：在尺规作图的条件下，此题无解。
肯定可以的。前提：不限制用尺规作图。
下面的处理方法来自伽利略：给定半径为r的圆，现作一个圆柱，使它的上下底面均为半径为r的圆，母线长为r/2。现将圆柱展开。得到的长方形面积也πr^2。长方形转化到正方形很简单，这里不赘述！！！
圆面积公式的推导过程四种方法？
1、拼凑法 2、定积分求圆的面积3、二重积分法 4、割补法 5、无限逼近和化曲为直法。