圆内接四边形性质及证明
圆内接四边形条件应满足什么条件？
圆内接四边形条件应满足什么条件？
考虑R关于AD的对称点R，则|PS| |SR| |PS| |SR| |PR|，因此只有∠ASP ∠DSR时才可能是最小，其他点同理有相同的条件。
显然题目中的四边形满足这个条件（由SAPX四点共圆可得）。
接下来就是证明满足这个条件的四边形是唯一的。
对任意的Q，关于AB做对称点Q，关于CD做对称点Q，则SQ与AB交点为P，SQ与CD交点为R。
将Q关于AD做对称点得到Q，则S是QQ与AD的交点。
设，设C关于AB的对称点为C，B关于CD的对称点为B，BC关于AD的对称点为BC，则由于前面的角相等的条件，必须有这是个关于t的线性方程，因此至多有一个解。
因此满足条件的四边形不可能有两个，因此题目中的四边形就是唯一的满足条件的四边形，也就是周长最小的四边形。
内接四边形直径所对的角？
圆内接四边形的性质： 对角互补， 当一条对角线为直径时， 一组对角都是90°，那么它们才相等。
请问为什么两对角互补的四边形内接于圆？
因为圆内接四边形的对角互补，这是圆的基本性质之一。因为圆的一周是360弧度，四边形的四个内角和是360度。所以两对角互补的四边形必内接于圆，圆的内接四边形对角互补。利用这个性质可以推断出，圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角。
圆内接四边形什么时候面积最大？
当四边形为正方形时面积最大。因为四边形面积是等于两条对角线乘积再乘以两条对角线夹角正弦值的一半。
设圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD夹角α，则S＝AC×BD×Sinα／2。由于直径大于弦。要S最大须AC与BD最大（即直径）。要使Sinα最大则需α＝90度。所以ABCD为正方形时面积最大。
四边形对角和等于180度一定要在圆内才成立？
是的，而且应该是圆的内接四边形，才满足对角互补的这样的性质。
圆内接四边形每条边都是圆的弦，每个顶点在圆上。根据圆内接四边形的性质，对角互补，所以他们的和是180度。
如果是普通的四边形不一定具备这样的性质，只有矩形，正方形，等腰梯形这样特殊的四边形才满足。