怎么看一个循环群是几阶
77阶子群有多少个循环群？
77阶子群有多少个循环群？
77阶子群有可能本身就是循环群，那么循环群就一个，如果本身不是循环群，那么他就有11阶循环子群和7阶循环子群
一个循环群的二阶子群是唯一的吗？
循环群的阶的因子 d 必然对应这个一个子群,且该子群唯一。
为什么G是素数P阶群则G是循环群？
设群（G，*）的阶是素数p，a不是G的单位元，若a的阶是m，则m1，H{ar | r属于Z}是关于*的一个m阶循环子群，又m是p的因数，但素数p只有p 和1，m又不等于1，故mp，所以（G, *）是一个循环群
为什么1、2、3、5、7阶群都是循环群？
证明：设群G是一个循环群，则G必定是由一个元素生成的，取其生成元a，则有G（a）。
H是G的一个子群（非空、运算封闭、结合律）。如果H是单位元群，则H显然是循环群。若H不是单位元群，则H中必定含有最小正幂m0的元素a^m。
如果m0，则a^m的逆元a^(-m)也在H内，而-m0，所以我们取m时恒大于0。
则H中的元素都可以表示为a^m的任意乘幂，即(a^m)^na^(m·n)，n∈Z。假设H中存在一个元素为a^(m·n r)，0rm，若这个元素不存在，则群G是由a^m生成的循环群，即得证。现在证明这个元素不可能存在。
假设群H中有a^S∈H，a^Sa^(m·n r)，即有a^S(a^m)^n·a^r，将a^r放置于等式一侧，可得到a^ra^S·(a^m)^(-n)，其中a^S和a^m均是H中元素，而a^r理应也属于H。但是0r＜m，而m是最小正数，故a^r不可能存在，即r必须等于0。
即H中任意元a^S是a^m的任意乘幂，所以H是a^m生成的循环群。
6阶循环群的生成元怎么求？
循环群的生成元解： 设a是阶数为5的循环群的生成元，因在比5小的正整数中有且仅有2、3、4与5互质，所以a4、a3、a2也是生成元，因此生成元个数为4。 设a是阶数为6的循环群的生成元，因在比6小的正整数中有且仅有5与6互质，所以5a也是生成元，因此生成元个数为2。
设a是阶数为14的循环群的生成元，因在比14小的正整数中有且仅有3、5、9、11、13与14互质，所以a13、a11、a9、a5、a3，也是生成元，因此生成元个数为6。
设a是阶数为15的循环群的生成元，因在比15小的正整数中有且仅有2、4、8、11、13、14与15互质，所以a14、a13、a11、a8、a4、a2，也是生成元，因此生成元个数为7。