收敛函数必有极限正确吗
为什么收敛数列极限唯一？
为什么收敛数列极限唯一？
这个是数列收敛的定义决定的，我们说当n趋近于无穷大时，数列项会趋近一个固定值。这个数列就收敛
证明：
假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设AB。那么对于任给的e，总存在N0，使得对于任意的n≥N，总有
|an-A|e
取e(B-A)/2，那么对于任意的n≥N，必有
|an-A|(B-A)/2
即A-(B-A)/2anA (B-A)/2
即(3A-B)/2an(A B)/2
因此
(3A-B)/2-Ban-B(A B)/2-B
即
3(A-B)/2an-B(A-B)/2
由于AB，所以A-B0
因此an-B(A-B)/20对于任意的n≥N成立。
即|an-B||A-B|/2对于任意的n≥N成立。
因此存在一个e|A-B|/20，使得对于任意的N0，总会有更大的NN且NN，使得
对于任意的n≥N，总是不满足|an-B|e。
根据数列极限的e-N定义法，数列an不收敛于B。
收敛就是极限存在吗？
收敛一般是指数列存在极限，也就是极限存在。
可导一定收敛吗？
点的极限存在且等于该点函数值则连续；该点处[f(x ¤x)-f(x)]/¤x在¤x趋近于零时,极限存在则可导.另外,可导一定连续,连续不一定可导.收敛函数这个并不是什么规范的术语，你先给一个定义。
如果你想说的是在某种趋势(比如x-x0或者x-oo)下有极限，那么导函数是不一定具有这种性质的，比如说x-0时xsin(1/x)极限为0，但是[xsin(1/x)]在x-0时就没有极限。
相对而言积分的性质要好很多（绝对连续性），但是广义Riemann积分仍然不保证相应的收敛性，因为没有紧集作为保障连续函数的性质也好不到哪里去。即使函数列一致收敛也不能推出导函数逐点收敛，原因很简单，你考虑一个处处连续但是处处不可微的函数，然后by Weierstrass thm，用多项式函数列一致逼近它，那么这个函数列的导数显然不收敛。
然后可行的情况是这样的：如果一列可微函数的导函数一致收敛，且原函数在一点收敛，则原函数处处收敛，且收敛的极限的导数就是导函数的一致收敛极限。收敛函数这个并不是什么规范的术语，你先给一个定义。
如果你想说的是在某种趋势(比如x-x0或者x-oo)下有极限，那么导函数是不一定具有这种性质的，比如说x-0时xsin(1/x)极限为0，但是[xsin(1/x)]在x-0时就没有极限。
相对而言积分的性质要好很多（绝对连续性），但是广义Riemann积分仍然不保证相应的收敛性，因为没有紧集作为保障连续函数的性质也好不到哪里去。