收敛数列通俗易懂
证明数列收敛的基本方法是什么？
证明数列收敛的基本方法是什么？
ε-N方法
设无穷数列a1，a2，……，an，用ε-N语言来说，该级数收敛于和S，就是任给ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜数列前n项和Sn-S｜＜ε。
我们来看一个例子：
求证：数列1/1·2 1/2·3 1/3·4 …… 1/n（n 1）1
证明：前n项和Sn1-1/2 1/2-1/3 1/3-1/4 …… 1/n-1/（n 1）
1-1/（n 1）
于是｜Sn-1｜1/（n 1）
解不等式1/（n 1）＜ε，得
n＞1/ε-1
显然，任给ε＞0，都存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜Sn-S｜＜ε。
所以题给数列收敛于（和）1
收敛算法？
收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。数学名词
收敛数列
令{}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b0,存在一个正整数N，使得对于任意nN,有|-A|b恒成立，就称数列{}收敛于A（极限为A），即数列{}为收敛数列。
函数收敛
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b0,存在c0,对任意x1,x2满足0|x1-x0|c,0|x2-x0|c,有|f(x1)-f(x2)|b。
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
如果给定一个定义在区间i上的函数列，(x）， （x） ，（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式（x） （x） （x） ...... un（x） ......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数
对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级数（x0） （x0） （x0） ...... un（x0） .... （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）（x） （x） （x） ...... un（x） ......把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)S(x)
记rn(x)S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然，只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)0
迭代算法的敛散性
1.全局收敛
对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk 1φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk 1φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。
2.局部收敛
若存在X*在某邻域R{X| |X-X*|δ},对任何的X0∈R，由Xk 1φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk 1φ（Xk）在R上收敛于X*。