均值不等式4个基本公式
均值不等式定理？
均值不等式定理？
均值不等式
又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式，公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn。 均值不等式可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。
不等式abc的公式？
abc的均值不等式公式：
a^2 b^2 ≥ 2ab
√(ab)≤(a b)/2 ≤（a^2 b^2）/2
a^2 b^2 c^2≥（a b c）^2/3≥ab bc ac
a b c≥3×三次根号abc
证明
关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
n次均值不等式的常用公式？
概念： 1、调和平均数：Hnn/(1/a1 1/a2 ... 1/an) 2、几何平均数：Gn()^(1/n)n次√(a1*a2*a3*...*an) 3、算术平均数：An(a1 a2 ... an)/n 4、平方平均数：Qn√[(a1^2 a2^2 ... an^2)/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、…、an∈R ，当且仅当a1a2…an时取“”号 均值不等式的一般形式：设函数D(r)[（a1^r a2^r ^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时); ()^(1/n)(当r0时）（即D(0)()^(1/n)） 则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
幂平均不等式的公式？
函数 y f(x) x^(q/p) (x＞0 p≠q p,q ≠ 0)
值域t(0 , ∞) f(x) ＞ 0
一阶导数t(q/p)*x^( (q-p)/p )
二阶导数t( (q2 - pq)/p2 )*x^( (q - 2p)/p )
p＞q＞0t图像性质 凸函数
0＞p＞qt图像性质 凹函数
p＞0 , q＜0t图像性质 凹函数
利用函数 y f(x) x^(q/p) (x＞0 p≠q p,q ≠ 0) 的性质结合Jensen不等式来证明幂平均不等式。
回顾Jensen不等式：
Ai ≥ 0时 且 A1 A2 ...... An 1
若函数f(x)是凹函数则有：
f(A1*X1 A2*X2 ...... An*Xn) ≤ A1*f(X1) A2*f(X2) ...... An*f(Xn) n≥1
若函数f(x)是凸函数则有：
f(A1*X1 A2*X2 ...... An*Xn) ≥ A1*f(X1) A2*f(X2) ...... An*f(Xn) n≥1
等号成立条件 X1 X2 ...... Xn