方阵的特征根与秩的关系
n阶矩阵特征值？
n阶矩阵特征值？
a 可对角化，则
ap^(-1)λp
则
（λ1e-a）λ1e-p^(-1)λp
p^(-1)（λ1-λi）p
说明：
λ为a对角化后的对角矩阵。p为对应的特征向量，
（λ1-λi）表示：对角线上分别是λ1-λ1，λ1-λ2，...λ1-λi的对角矩阵。
所以，显然因为λ1-λ10.则可知p^(-1)（λ1-λi）p的第一行全为0，其余的因为各个特征值不等，则不为零则
可知p^(-1)（λ1-λi）p的秩为n-1
即秩（λ1e-a）n-1
同理对于λ1是n阶实对称矩阵a的k重特征根，则有k行均为0。
所以秩（λ1e-a）n-k
特征根和秩的联系？
如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立了。
二重特征根与秩的关系？
在两个相似矩阵中，即设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)APB，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。
两个相似矩阵，两者的秩相等；在相似对角化，B为对角矩阵，而对角矩阵由矩阵的特征值组成，可以对角矩阵中是否有0的特征值，就可以推出原矩阵的秩为多少。
因为A为实对称矩阵，由其性质可以知道n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
而且可以知道A的特征值不是0就是1，又因为r（A）2，所以可以知道齐次线性方程组Ax0只有一个解，因此为0的特征值只可以解出一个特征向量；
如果0为特征值重根，最后不满足A与对角矩阵相似时，n阶方阵A有n个线性无关的特征向量的条件，推出A不可以相似对角化，与题给的A为实对称矩阵的条件矛盾。
由此可以知道特征值为1，是特征值的二重根。
n阶对称矩阵的秩怎么算？
对称矩阵的秩为1是因为A的所有特征值的和是1。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
对于n阶矩阵，如果rank(A)1，那么Ax0的线性无关的解有n-1个，说明零至少是n-1重特征值，即卷矩阵A有三个一样的特征值，并且为0；
又因为A的所有特征值的和是trace(A)，所以余下那个可能非零的特征值就是trace(A)；
故矩阵A的特征值为0（3重）和trace(A)。
有n个复根λ1,λ2,…,λn，为A的n个特征根。当特征根λi(I1,2,…,n)求出后，(λiE-A)Xθ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|0，(λiE-A)Xθ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λiE-A)Xθ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
矩阵特征值的性质：
1、若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
2、若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的`特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
3、设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。