4种海伦公式详细推导过程
秦九韶是如何推导出三斜求积术的？
秦九韶是如何推导出三斜求积术的？
三斜求积术的公式为什么看起来那样复杂？
宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了三斜求积术，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全海伦公式等价。至于两者为什么完全等价，大家可以看我之前写过的问答。
以下是秦九韶的《数书九章》中的题目。
问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？ 以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。秦九韶把三角形的三条边分别称为大斜、中斜、小斜。
三斜求积术计算步骤如下：
1、用大斜平方加上小斜平方，减中斜平方，取余数的一半的平方，而得一个数；
2、大斜平方乘以小斜平方，减上面所得到的那个数，相减后余数被4除；
3、再将所得的结果开平方后即得面积。
用公式表示如下
请大家仔细观察秦九韶公式，公式看起来比较复杂，的确不如海伦公式便于记忆。
要想了解这个公式是如何推导的，请大家看根号里的部分，根号里的部分应该表示的是面积的平方，其中的好多平方的关系，容易使大家联想到勾股定理。大家都知道最基本的面积公式，底乘高除以2，其实三斜求积术就是依据基本面积公式以及勾股定理推导出来的。
注：大家可以把大斜、中斜、小斜理解成一个代号（好比字母abc一样），用以区分三条边，以免发生计算混淆，即便是等边三角形等也同样适用。
利用余弦定理证明海伦公式S√[s(s-a)(s-b)(s-c)]？
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC (a^2 b^2-c^2)/2ab
S1/2*ab*sinC
1/2*ab*√(1-cos^2 C)
1/2*ab*√[1-(a^2 b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
1/4*√[4a^2*b^2-(a^2 b^2-c^2)^2]
1/4*√[(2ab a^2 b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2 c^2)]
1/4*√[(a b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
1/4*√[(a b c)(a b-c)(a-b c)(-a b c)]
设p(a b c)/2
则p(a b c)/2, p-a(-a b c)/2, p-b(a-b c)/2,p-c(a b-c)/2,
上式√[(a b c)(a b-c)(a-b c)(-a b c)/16]
√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S√[p(p-a)(p-b)(p-c)]