射影定理公式和证明过程
相似三角形射影定理?
相似三角形射影定理?
射影定理
又叫欧几里德(Euclid)定理。俗称母子三角形:直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
例如:(前提:∠BAD ∠DAC90度,AD⊥BC)公式Rt△ABC中,∠BAC90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2BD·DC,(2)(AB)^2BD·BC,(3)(AC)^2CD·BC。等积式 (4)ABXACBCXAD(可用面积来证明)
一.平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行相交的)直线上截得的线段也相等
二.平行截割定理
两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例.
三.平行截割定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的三角形与原三角形的对应边成比例.
射影定理的证明?
直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式 ,Rt△ABC中,∠BAC90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下: (1)(AD)^2BD·DC, (2)(AB)^2BD·BC ,
(3)(AC)^2CD·BC 。
证明:在 △BAD与△ACD中,∠B ∠C90°,∠DAC ∠C90°,∴∠B∠DAC,又∵∠BDA∠ADC90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴ AD/BD=CD/AD,即(AD)^2BD·DC。其余类似可证。
注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式(2) (3)得: (AB)^2 (AC)^2BD·BC CD·BC (BD CD)·BC(BC)^2, 即 (AB)^2 (AC)^2(BC)^2。
射影定理是什么(具体到三角形ABC中各边的关系?
射影定理的内容是:
对于任意的 ,作其斜边上的高AD
则
这三个等式都是等积式(这里的等积式是针对相似三角形的比例式而言的,也就是等号两边都是乘号)对于该定理要如何记忆,我这里提供两种思路:
1、从“形”的角度。以第一个等式 为例,BD和BC都可以看成是AB的影子,只不过一个光线从AD投过,另一个光线从AC投过。另外两个式子同理。
2、从“数”的角度。还是以第一个等式 为例。该等式出现的三条边:AB、BD、BC共由四个字母A、B、C、D组成,且都有一个公共的端点B,这个公共的端点一定是出现在斜边上的,这样就确定了一个字母,然后再将其他三个字母依次填入即可。
即
1)找到所要求的边AB。
2)确认该边与斜边的交点,即B。
3)将剩余的字母(即C、D)填入等式
4)得到等积式
当然,如果实在记不住可以现场证明,因为图形里的三个直角三角形都是相似的,得到比例式以后交叉相乘就可以得到等积式,也就是射影定理。