三角函数取值范围与最值问题
三角函数最大值及x的取值范围?
三角函数最大值及x的取值范围?
六个三角函数中,除正弦和余弦有最大值1,最小值-1外,其余的都没有最值。六个函数中,正弦和余弦x可取一切实数值。正切和正割x可取(k 1/2)丌以外的一切实数值。余切和余割x可取k丌以外的一切实数值。
如何确定三角形的最大值?
三角形面积最大求值法有以下几种:
1、三角形面积底×高÷2;
2、三角形面积1/2absinC1/2acsinB1/2bcsinA;
3、三角形面积abc/4R。
三角函数的图像与性质最大值?
、化为一个三角函数.
如:f(x)sinx+√3cosx2sin(x+π/3)
最大值是2,最小值是-2
2、利用换元法化为二次函数.
如:f(x)cosx+cos2x
cosx+2cos2x-1
2t2+t-1 【其中tcosx∈[-1,1]】
则f(x)的最大值是当tcosx1时取得的,是2,最小值是当tcosx-1/4时取得的,是-9/8
三角函数a b最大值?
主要公式:
1.(sina)^2 (cosa)^21。
2.ab≤(a b)^2/2。
思路一:直接代入法
根据已知条件,替换b,得到关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。
ab
a(√2-a)
-a^2 √2*a
-(a-√2/2)^2 1/2,
则当a√2/2时,ab有最大值为1/2。
思路二:判别式法
设abp,得到bp/a,代入已知条件关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。
a b√2,
a p/a√2,
a^2-√2a p0,对a的二次方程有:
判别式△2-4p≥0,即:
p≤1/2,
此时得abp的最大值1/2。
思路三:三角换元法
将ab表示成三角函数,进而得ab的最大值。
由a b√2,要求ab的最大值,不妨设a,b均为正数,
设a√2(cost)^2,b√2(sint)^2,则:
a√2(cost)^2,b√2(sint)^2,代入得:
ab√2(cost)^2*√2(sint)^2,
1/2*(sin2t)^2,
当sin2t±1时,ab有最大值1/2。
思路四:中值代换法
设a√2/2 t,b√2/2-t,则:
a√2/2 t,b√2/2-t
此时有:
ab(√2/2 t)*(√2/2-t)
1/2-t^2。
当t0时,即:ab≤1/2,
则ab的最大值为1/2。
思路五:不等式法
当a,b均为正数时,则:
∵a b≥2ab,
∴(a b)^2≥4ab,
2≥4ab,
即:ab≤1/2,
则ab的最大值为1/2。
思路六:数形几何法
如图,设直线a b√2上的任意一点P(a0,b0),
op与x轴的夹角为θ,则:
a0 b0√2,b0a0tanθ, p(a0,b0)
a0 a0tanθ√2,得
a0√2/(1 tanθ),
|a0*b0|2*|tanθ|/(1 tanθ)^2,
2/[(1/|tanθ|) 2 |tanθ|]
≤2/(2 2)1/2。
则ab的最大值1/2.
思路七:构造函数法
设函数f(a,b)ab-λ(a b-√2),
则偏导数fab-λ,fba-λ,
fλa b-√2。
令fafbfλ0,则:
bλ,aλ。进一步代入得:
λ λ√2,即λ√2/2.
则有a√2/2,b√2/2.
ab的最大值√2/2*√2/21/2。