矩阵可交换与矩阵可逆的区别
为什么特征矩阵是可逆的？
为什么特征矩阵是可逆的？
因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，而矩阵可逆的充要条件是行列式不等于0，所以矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不等于0。
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Axmx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Axλx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Axλx也可写成( A-λE)X0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|0。
与所有矩阵可逆矩阵可交换的矩阵？
n阶单位阵和n阶数量阵与任意n阶矩阵可交换
正交矩阵相似对角化；可逆矩阵相似对角化；可对角化；这三者有什么区别？
P^-1AP 对角矩阵。
正交对角化要求 P 是正交矩阵, 即P可逆且 P^-1 P^T。即是相似变换又是合同变换, 用于二次型。可逆矩阵相似对角化。一般考虑的是方阵, 并不要求方阵可逆, 要求 P 可逆。可对角化就是A可相似对角化, 即存在可逆矩阵P使得 P^-1AP 对角矩阵。
两矩阵可交换就一定可逆吗？
(1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换
(2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换
(3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换
(4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换
(5) 设A , B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵）,且对角线上的子块均可交换，则A , B 可交换
(6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换
(7) 设A可逆,则A 与其逆矩阵可交换
以上矩阵仅指方阵，不是方阵，交换后得到的维度都不一样，绝对不可以的。
矩阵A可交换矩阵是什么？
可交换的矩阵是满足乘法交换律的方阵。
1、满足乘法交换律的方阵称为可交换矩阵即矩阵A，B满足A·BB·A。设A，B 至少有一个为零矩阵则A，B可交换，设A，B 至少有一个为单位矩阵则A，B可交换，设A，B至少有一个为数量矩阵则A，B可交换，设A，B均为对角矩阵则A，B可交换。
2、AB的行数即A的行数，AB的列数即B的列数ABBA时，A 的行数等于B的行数，B的列数等于A 的列数，又AB有意义，A 的列数等于B的行数，A,B是同阶矩阵，设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^-1APB，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。
3、若A，B均为对合矩阵则AB也为对合矩阵，若AB均为幂等矩阵，则AB，A B -AB也为幂等矩阵，若AB均为幂幺矩阵，则AB也为幂幺矩阵，若AB均为幂零矩阵，则AB，A B 均为幂零矩阵。