泊松分布与指数分布的关系和应用
为什么指数分布用e表示？
为什么指数分布用e表示？
指数分布e(x)是期望值的意思。
一般的说，一个随机变量的函数的期望值并不等于这个随机变量的期望值的函数。在一般情况下，两个随机变量的积的期望值不等于这两个随机变量的期望值的积。特殊情况是当这两个随机变量是相互独立的时候（也就是说一个随机变量的输出不会影响另一个随机变量的输出）。
在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。
八大分布字母含义？
0—1分布，数学期望p 方差p(1-p)；
二项分布(贝努里概型)，数学期望np 方差np(1-p)；
泊松分布，数学期望λ 方差λ；
均匀分布，数学期望(a b)/2 方差[(b-a)^2]/12；
指数分布，数学期望1/λ 方差1/λ^2；
正态分布，数学期望μ 方差σ^2；
标准正态分布，数学期望0 方差1
各种分布的符号就是这种分布的英文名称的首字母，比如泊松分布的英文名称叫做poission distribution,所以，随机变量x服从参数为λ的泊松分布就叫做x~p(λ)
泊松过程的特征函数？
特征函数E(exp(itx)),其中x服从泊松分布,于是(我中间都是乘起来的,没写乘号而已)
E(exp(itx))
sum (k从0到无穷) exp(itk) exp(-lambda) lambda^k / k!
exp(-lambda) sum (k从0到无穷) [exp(it)]^k lambda^k / k!
exp(-lambda) sum (k从0到无穷) [ lambda exp(it) ] ^k / k!
exp(-lambda) exp { lambda exp(it) }
exp [ lambda (exp(it) - 1) ],解毕.
原理就是想方设法把指数为k的项并到一起,然后反过来使用指数函数exp(x)的泰勒展开式.以上sum是求和符号,exp是指数符号,^k是k次幂,lambda就是泊松分布的参数.