函数极限入门基础知识
如何通俗的理解函数的极限？
如何通俗的理解函数的极限？
跑步跑到呼吸不畅，心跳过速，感觉下一秒就要狗带的这个时候，就是极限。以下官方：
1、指最大的限度。
2、是指无限趋近于一个固定的数值。
3、数学名词。在高等数学中，极限是一个重要的概念。极限可分为数列极限和函数极限。极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
总结函数求极限的类型及方法并针对每个类型举例？
一、求函数极限的方法 1、利用极限的四则运算性质
x 2 3x 5
例：求 lim
x →2x 4
x 2 3x 522 3?2 55
解: lim
x →22 42x 4
2、约去零因式（适用于x →x 0时, 型）
x 3-x 2-16x -20
例: 求lim 3
x →-2x 7x 2 16x 12
(x
解:原式lim
x
x →-2
3
-3x 2-10x (2x 2-6x -20)
322
5x 6x (2x 10x 12)
)
(x -5)(x 2) (x 2)(x 2-3x -10) (x 2-3x -10)
lim lim lim
x →-2(x 2)(x 3) x →-2(x 2)(x 2 5x 6) x →-2(x 2 5x 6)
lim
3、通分法（适用于∞-∞型） 例:求 lim (
x →2x →-2
x -5
-7 x 3
41
-)
4-x 22-x
解:原式lim
114-(2 x ) (2-x )
lim lim
x →22 x x →2(2 x ) ?(2-x ) x →2(2 x )(2-x ) 4
4、等价无穷小代换法
1-cos x 2
例:求极限lim 2
x →0x sin x 2
(x 2) 2
(x 2) 21-cos x 22221 lim 2 解: sin x ~x , 1-cos x ~ ∴
x →0x sin x 22x 2x 22
注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，
不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
1
5、利用两个重要的极限。
(A ) lim
sin x x →0x 1 (B ) lim x →∞(1 1
x
) x e
经常使用的是它们的变形：
(A #39 ) lim
sin ?(x )
?(x )
1, (?(x ) →0)
(B #39 ) lim(1 1
?(x ) ) ?(x ) e , (?(x ) →∞)
例：求下列函数极限
(1) 、lim a x -1
ln cos ax x →0x
(2) 、lim x →0ln cos bx 解：（1）令a x
-1u , 则 x ln(1 u ) ln a 于是a x -1u ln a
x
ln(1 u )
又当x →0时，u →0
故有：lim a x -1u x →0x lim ln a u →0ln(1 u ) lim ln a u →0ln(1 u ) lim ln a
u →0
1ln a u
ln(1 u ) u
(2) 、原式lim
ln[(1 (cosax -1)]
ln[(1 (cosax -1)]cos bx -1x →0ln[1 (cosbx -1)]lim x →0cos ax -1?
cos ax -1
cos bx -1
lim cos bx -1x →0cos ax -1
sin 2a x
-2sin 2αx (a x ) 2(b
x ) 2
lim lim ?b 2sin 2x sin 2x (2
x →0-2b x →0b a a
2
x ) 2
22(b 2
x ) 26、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 例：求下列函数的极限
e x (1) 、lim
cos x 5
x →01 x 2 ln(1-x )
2
7、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：
lim
x →1
x -1x -1
n m
l k
m l
m、n 、k 、l 为正整数。 nk
例：求下列函数极限 ① lim
x →1
1-x 1-m x
(m 、n ∈N ) ②lim (
x →∞
2x 3x 1
) 2x 1
解: ①令 tx 则当x →1 时 t →1, 于是
1-t m (1-t )(1 t t 2 t m -1) m
原式lim lim 2n -1t →11-t n t →1(1-t )(1 t t t ) n
2x 3x 12x 1
) lim (1 )
x →∞2x 1x →∞2x 12x 1111
则 x 1 令：2t t 2
②由于lim (
2x 3x 12x 1
t 2
) lim (1 ) lim (1 t ) lim (1 t ) t ?lim (1 t ) 2e ?1e ∴lim (
x →∞2x 1x →∞t →0t →0t →02x 1
11
1
1
8、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形) 。
?1-2e -x , x ≤0
?
?x -x
例：设f (x ) ?, 0
x →0x →1
x ?
?x 2, x ≥1?解： lim f (x ) lim (1-2e -x ) -1--
x →0
x →0
x →0
lim f (x ) lim (
x →0
x →0
x -x x
) lim (x -1) -1
x →0
x →0
f (x ) lim f (x ) -1 ∴lim f (x ) -1 由lim -
x →0
又 lim f (x ) lim --
x →1
x →12
x -x x
lim x -1) 0-
x →1
lim f (x ) lim x 1 x →1 x →1
由f (1-0) ≠f (1 0) ∴lim f (x ) 不存在
x →1
3
9、洛必达法则（适用于未定式极限）
注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点： （1） 要注意条件，也就是说，在没有化为
0∞
, 时不可求导。 0∞
（2） 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 （3） 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未
定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。
f #39 (x )
（4）当lim 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方
x →a g #39 (x )
法。 例： 求下列函数的极限
e x -(1 ①lim 2x ) x →0ln(1 x 2)
②x lim
ln x
→ ∞x a
(a gt0, x gt0)
解：①令f(x) e x
-(1 2x )
, g(x) ln(1 x 2)
f #39 (x ) e x -(1 2x )
-, g #39
(x )
2x
1 x
2
f #34
(x ) e x
(1 2x )
-, g #34
(x )
2(1-x 2)
(1 x 2) 2
由于f (0) f #39 (0) 0, g (0) g #39 (0) 0 但f #34 (0) 2, g #34 (0) 2 从而运用洛必达法则两次后得到
--lim e x -(1 2x ) x →0ln(1 x 2)
lim e x -(1 2x )
x →02x
lim e x (1 2x ) x →02(1-x 2)
2
2
11 x 2
(1 x 2) 2
② 由lim ln x ∞, lim x a
x → ∞
∞
x → ∞
∞ 故此例属于
∞
型，由洛必达法则有： 1
x lim ln x → ∞x x lim x → ∞ax a -1x lim 1a → ∞ax a
0(a gt0, x gt0) 10、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况
4
(2x -3) 20(3x 2) 30
例：求下列函数的极限lim x 1) 50
x →∞(2 解: 分子，分母的最高次方相同，故
lim (2x -3) 20(3x 2) 30220?330
330x →∞(2x 1)
50250(2) (2)无理式的情况。 例：求x lim → ∞
(x
x x -x ) 解: x lim → ∞
(x
x x -x )
x lim