微分几何曲线论在数学中的应用
什么是微分几何？
什么是微分几何？
微分几何是数学的一个分支学科。
应用微分几何来研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面等图形性质的数学分支。差不多与微积分学同时起源于17世纪。单变量函数的几何形象是一条曲线，函数的导数就是曲线切线的斜率。函数的积分在几何上则可理解为一曲线下的面积等等。
都说微分是曲线上点切线对应x在y轴上的增量，可就是不明白这个增量是怎么看的？
切线和函数就相当于两个函数，dx就是x的增量趋近于无穷小，这个时候y在切线上的增量就等于y在函数上的增量，而这个图不是趋近无穷的时候，就是说dy和y的增量是随x的增量变化而变化的，不能叫固定值，因为你x增量取1和取10是不同的结果，但都是为了说明dy和y的增量是有区别的，只有x增量趋近无穷小的时候才相等
复微分几何意义？
几何意义：设Δx是曲线y f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
设函数y f(x)在x的邻域内有定义，x及x Δx在此区间内。如果函数的增量Δy f(x Δx) - f(x)可表示为 Δy AΔx o(Δx)（其中A是不不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）
第二类曲线积分的几何意义？
第二类曲线积分可以看作是一个向量函数的线积分，所以没有任何实际意义。向量函数(vectorfunction)是向量分析中的基本概念。给出一个点集CU，并在G上选定一个坐标系.若对于G中每一个点p，总有三维欧氏空间R3中的一个确定的向量r和它对应，则称r为定义在CU上的一个向量函数。
曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线