几何画板演示椭圆的第一定义
黎曼几何基础知识讲解？
黎曼几何基础知识讲解？
黎曼几何 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。
在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。
他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。
这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。
这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。
这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。
黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。
黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。
黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。
该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。
前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。
在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。
他们进一步发展了黎曼几何学。
但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。
大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。
随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。
并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。
1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。
而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。
例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。
1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。
半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。
几何原本的发展？
提到几何，首先想到的都是那些定义、公理、定理，可我们对它的发展过程却并不是很清楚。大家接触最多的几何是欧氏几何，其实除了欧氏几何外，几何学中还有好多东西。
如几何与代数是通过笛卡尔的坐标系联系起来的，这就是解析几何。
我们也知道第五公设受到了若干世纪数学家们的挑战。历史已经指出，平行公设在欧式几何中，确实是独立的，但失败的尝试引出了非欧几何的发现。
下面给大家用时间轴的形式来说一下几何学的发展过程。
公元前600年 泰斯勒引进演绎几何学，之后被毕达哥拉斯学派和柏拉图，亚里士多德等数学家和哲学家加以发展。
公元前300年 欧几里得将已被发现和证明的数学思想编辑，组织并系统化为13卷书，称为《几何原本》。
公元前140年 波赛多尼奥斯，重述欧几里得第五公设。
公元五世纪 普罗克洛斯（410-485），最早批评了欧几里得第五公设。
在十个多世纪中，无数人试图证明欧几里得第五公设。
1637年 雷内.笛卡尔建立解析几何。
杰罗拉莫.萨谢利首先尝试间接证明欧几里得平行公设，但他不接受自己的工作成果，他在逝世前出版了一本书《无懈可击的欧几里得》。一个半世纪后，尤金尼奥，贝尔特拉米注意到这本书，如果萨谢利不放弃他的研究成果，非欧几何会提前一个世纪产生。
1639年 吉拉德.德扎格（1594-1661）出版了一本关于二次曲线的著作，他在书中讨论了他在射影几何方面的一些发现。
1736年 伦哈德.欧拉（1707-1783）对七桥问题的研究，开创了拓扑学的领域。
1795年 加斯帕德.蒙日（1746-1818）用射影平面描述几何构造。
1822年 琼.维克托.彭赛列（1788-1867）用他的论文使射影几何再次受到重视，并提出了对偶原理。
1843年 阿瑟.凯莱开始研究解析几何中的n维空间。
格奥尔格.康托尔（1845-1918）的集合论为拓扑学提供了基础，1895年亨利.庞加莱在他的《位置分析》中提出了拓扑学，发展了康托尔集，即早期的分形。
1871年克里斯琴.费利克斯.莱克茵在射影几何和拓扑学方面做了广泛的工作，并证明了欧氏几何、椭圆几何、双曲几何的一致性。
19世纪尼古拉.罗巴切夫斯基（1793-1856）、雅诺什.波尔约（1802-1860）和卡尔.高斯（1777-1855），各自独立的发现了双曲几何。
1854年 G.F.伯恩哈德博.黎曼提出了椭圆几何。
1858年 奥古斯特.莫比乌斯和约翰，利斯廷各自独立的发现了单侧曲面（莫比乌斯带）。
1888年 吉赛普.皮亚诺，创造皮亚诺空间充填曲线（分形）。
1904年 赫尔奇.冯.科克创造了科克雪花曲线（分形）。
1919年 费利克斯.豪斯多夫作出了分形几何中分维的定义。A.S.西贝科维奇推广了豪斯多夫的工作。
1971年 弗拉迪米尔，阿诺德把代数n维解析几何和拓扑学联系起来。
1951-1975年，伯诺瓦.芒德布罗，造出分形一词，并且几乎单独的研究来发展它。