如何判断矩阵能对角化
三阶矩阵有三个不同的特征值？
三阶矩阵有三个不同的特征值？
α3α1 2α2，显然满足列向量线性相关
从而必然有一个特征值是0
由于有3个不同特征值，则其余两个特征值，必然都不为0
从而有2个非零特征值λ2，λ3，从而a与对角阵diag(0,λ2,λ3)相似
从而r(a)r(diag(0,λ2,λ3))2，即a的秩等于2
矩阵有重根就不可以对角化吗？
你的表述很成问题，不过我能明白你想问什么你想说的是λ是A的重特征值，(λI-A)x0的基础解系里只有一个向量，那么A不可对角化结论是对的，可以直接用反证法验证
怎么用秩判断相似对角化？
第一步，看是不是实对称矩阵，如果是实对称矩阵，立即推可相似对角化，如果不是实对称矩阵，看第二步；
第二步，求方阵的n个特征值，如果特征值彼此都不相同，也就是都是单根的话，立即推可相似对角化，如果有重根，看第三步；
第三步，来验证k重根是不是具备k个线性无关的特征向量，也就是看A-λE或λE-A的秩是否等于n-k，若相等，立即推可相似对角化，不相等，则不能进行相似对角化。
一个矩阵是否相似于对角矩阵代表什么？
n阶矩阵若有n个线性无关的特征向量，则它相似于对角矩阵。
先求特征值；
求特征值对应的特征向量；
现在就可以判断一个矩阵能否对角化：
若矩阵的n重特征值对应n个线性无关的特征向量，则它可以对角化，否则不可以。
令P[P1,P2,……,Pn]，其中P1，P2，Pn是特征向量
则P^(-1)AP为对角矩阵，其对角线上的元素为相应的特征值。
矩阵三重特征值什么意思？
说明这个矩阵可以相似对角化，这是矩阵可以相似对角化的充要条件之一。
总结来说一般有以下几个充要条件:
1.特征值重数n－R(λiE-A)，这个一般用的比较多。比如3阶矩阵特征值为1,2,2 即2为A的二重特征值，那么如果3－R(2E-A)2,此时我们只需要求出矩阵(2E-A)的秩是否为1，即可判断这个矩阵能否对角化。
2.n阶矩阵有n个不同的特征值。
3.n阶矩阵有n个无关的特征向量，第2点也间接的回答了第3点，因为不同特征值对应的特征向量是无关的，于是n个不同特征值自然对应n个无关的特征向量。
4.实对称矩阵必可相似对角化，即关于对角线对称的矩阵，且特征值为实数。