怎样判断线性方程组有唯一解
为什么齐次方程能解一定是零？
为什么齐次方程能解一定是零？
齐次线性方程组有非零解的条件：在微分方程理论中，指x(t)≠0齐次线性方程组有非零解的条件。
一个齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。
齐次线性方程组只有零解的条件：矩阵的秩未知量的个数；系数矩阵列满秩；系数矩阵的列向量组线性无关，满足以上三个条件中的一个就只有零解。
扩展资料：
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若mn，则一定nr，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)n，方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)n,方程组有无数多解。
n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。
线性方程唯一解怎么求？
唯一解的充分必要条件是矩阵的稚增广矩阵的稚N
λ1有唯一解
λ≠1时只能C4能由C3线性表出得λ2
非齐次线性方程组的解的三种情况？
非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组。有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)rank(A, b)（否则为无解）。有无穷多解的充要条件是rank(A)
非齐次线性方程组的解的三种情况：
非齐次线性方程组有唯一解、无解、或有无穷多解。
非齐次线性方程组有唯一解怎么求？
在线性代数中，我们往往会做到一类题目，那就是给定两个矩阵A、B，其中设有未知数，问我们什么时候AXB无解、有唯一解、有无穷多解。
我们认知中的AXB便是非齐次线性方程组的表达式（常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组）
笔者呢在复习考研数学的时候，经常做到关于线代求AXB解的题目，因此下定决心要好好整理一下。
话不多说，就让我们开始吧。
非齐次线性方程组的求解步骤
矩阵A是系数矩阵，矩阵b（矩阵A和矩阵B结合起来）是增广矩阵，对于判断解的情况，当然是判断系数矩阵和增广矩阵的秩。
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩（R(A)R(b)），那毫无疑问，方程组无解。
R(A)R(b)n，方程组有唯一解。
R(A)R(b)n，方程组有无穷多解。
当然，是要将增广矩阵b进行初等行变换化为行阶梯形来判断。
但是这只是用来判断是否有解，至于怎么求，我们当然要借助解的结构：
非齐次线性方程组的通解齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组的一个特解
话不多说，给出一道实际例题，这道题目让我们求出AXB各种解的情况：
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首先是无解的情况
既然是无解，那当然只要证明R(A)R(b)就行了。
这道题目中我设置矩阵b是增广矩阵，包括(A:B)在内：
文章图片2
无解的情况最为简单，因为你不需要求解，只需要判断矩阵的秩即可。
注意：这里为什么没有用到初等列变换，是因为我要化为行阶梯形，不可以用初等列变换，否则，如果尝试的话，就会导致题目做错，达不到我们要的结果，因此不用初等列变换。
齐次是有唯一解的情况
唯一解的情况当然是R(A)R(B)n的时候，n自然是指的是n阶方程的秩。
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齐次是有无穷多解的情况
无穷多解的情况便是R(A)R(B)n的时候。
文章图片4
注意，这里用到了基础解系的概念。
因为我们知道非齐次线性方程组的通解齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组的一个特解
所以其中的1,-1,0是非齐次线性方程组的特解，k1(0,-1,1)是齐次线性方程组的通解。
文章图片5
总结
总的来说，我们往往在简答题中会遇到这类求线性方程组的题目，难度不是很大，关键在于掌握方法，矩阵的秩能够用来判断线性方程组的解是无解、唯一解还是无穷多解。
掌握好求解的步骤，便能够事半功倍，很快的完成这类题目。