行列式性质的完整证明
行列式的性质的其他定义法？
行列式的性质的其他定义法？
1.行列式的定义(第一个定义)
这种定义行列式的方法直接给出了行列式的几何意义，:是数学家柯西提出的
假设有一个行列式∣ α 11 α 12 α 21 α 22 ∣ |
α11α21α12α22
|∣
α
11
α
21
α
12
α
22
∣，我们把(α 11，α 12) (α _ {11}，α _ {12}) (α
11
,α
12
)和(α 21，α 22) (α _ {21}，α _ {22}) (α
21
,α
22
)分别视为二维向量，用直角坐标系:表示。
行列式的值怎么计算？
1.用行列式定义直接计算。
2.利用行列式的七个性质计算。
3、化为三角形行列式:如果一个行列式能适当地化为三角形，其结果就是该行列式主对角线上元素的乘积。因此，三角剖分是行列式计算中的一种重要方法。扩展数据
4.降阶法:将行列式按某一行(或列)展开，可降第一阶。更一般的可以用拉普拉斯定理，可以降多阶。为了使运算更简单，往往利用列的性质进行简化，使行列式中出现更多的#39零，然后展开。
矩阵行列式的相关性质；
1.行列式a中的一行(或一列)乘以同一个数k，结果等于kA。
2.行列式A等于它的转置行列式AT(AT的第I行是A的第I列)。
3.如果n阶行列式|αij|的一行(或一列)是两个行列式的和，并且这两个行列式的第一行(或第一列)是B1，B2...，BN；另一个是с1，с 2，…，сn；其他行(或列)中的元素与|αij|中的元素完全相同。
4.行列式A中的两行(或两列)互换，结果等于-a..⑤将行列式A的一行(或一列)中的每个元素乘以一个数，再加到另一行(或另一列)中相应的每个元素上，结果仍然是A..
方阵行列式的性质？
方阵的行列式是一个数，它包含了矩阵的很多信息。首先，它直接告诉我们这个矩阵是否可逆。如果矩阵的行列式为零，则该矩阵没有逆矩阵。可逆时，其逆矩阵的行列式为。
行列式可以用来求逆矩阵，计算主成分，解方程，但我们很少这样做，因为消元会更快。
对于上面的矩阵，如果行列式为零，我们不能除以零，也就是没有逆矩阵。它的主成分是和，主成分的乘积是行列式的值。
行列式有三个基本性质，从中我们可以计算任意策略的秩。类型时，行列式记录为或。
性质1:单位矩阵的行列式为1，对应单位立方体的体积为1。
性质2:当两行交换时，行列式改变符号。
从这个性质，我们可以很容易地得到所有置换矩阵的行列式，它们都是由单位矩阵演化而来的。当交换奇数行时；当有偶数行交换时。
性质3:行列式是每一行的线性函数(其他行不变)。
如果一行相乘，行列式也会相乘。如果将一行添加到另一行，行列式也会被添加。
这并不是说每一行都乘以2，所以就乘以。
这就像面积或体积一样。如果长方形的长和宽增加一倍，面积就会增加四倍。
属性4:当矩阵中的两行相同时，
利用性质2，我们交换这两行，矩阵不变，但是它的行列式需要变号，所以行列式只能是零。
性质5:矩阵的一行减去另一行的倍数，行列式不变。
在消去的过程中，行列式是不会变的，如果有交换的行，符号是不一样的，所以有。
性质6:当矩阵的一行全为零时，行列式为零。
使用属性5，将所有零线添加到另一行。
性质7:如果矩阵是三角形的，那么行列式等于对角线上元素的乘积。
利用性质5，我们可以用消元法把对角线以上或以下的元素全部换成0，不会改变行列式的值。然后，矩阵只在对角线上有非零值，然后我们用性质3提取每一行的系数，矩阵就成了单位矩阵。
性质8:如果矩阵是可逆的，那么反之亦然。
消元过程会变成，如果不可逆，那么矩阵中一定有全零的行，它的行列式为零。如果是可逆的，那么in中的对角线就是主成分，它的行列式就是对角线的积，也就是主成分的积。
如果，那么，有一个对角线上为1的下三角矩阵，那么就有，和，所以。