任何一个
任何一个 齐星线性方程组 都有基础解析？
齐星线性方程组 都有基础解析？
不一定。
齐次性方程组的解只有两种，要么只有零解，要么不仅有零解，还有非零解。基础解系只是在有非零解的情况下才存在。
线性方程组的解与特征值的关系？
特征值向量对于矩阵而言的，特征向量有对应的特征值，如果Axax，则x就是对应于特征值a的特征向量。而解向量是对于方程组而言的，就是“方程组的解”，是一个意思。
基础解系和特征向量的关系可以通过以下例子理解：A是矩阵，x是n维向量，基础解系是齐次方程组Ax0的解，特征向量是由(A-λE)x0对应的特征方程解得到的。
判断矩阵方程组解的情况？
①克拉默法则
对于线性方程组：
若满足其其系数的行列式不等于零，即
那么，原方程组有唯一解
注：对于齐次线性方程组而言，若D≠0，则方程组没有非零解，即唯一解为 X1X2···Xn0
②矩阵的秩：将线性方程组的增广矩阵 B(A,b) 通过矩阵的初等变换，化为它的标准形
(I)方程组无解的充要条件为 R(A)＜R(B)；
(II)方程组有唯一解的充要条件为 R(A)R(B)n；
(III)方程组有无穷解的充要条件为 R(A)R(B)＜n.
注：对于齐次线性方程组，有R(A)R(B)恒成立，故方程组仅有(II)、(III)两种情况。
§14 线性方程组有解的判别定理
现在我们可以更加清楚地讨论线性方程组有解的条件了。
设有n 元线性方程组
如果方程组有解，就称方程组为相容的，否则就称为不相容的。记
,j1,2,…n , β ，X
线性方程组 (14-1) 可写成向量方程的形式
β
即
或写成矩阵方程的形式
AXβ
其中， A 是系数矩阵。
易见下述结论等价：
（1 ） 线性方程组(14-1 有解
(2) 向量β可以由向量组 线性表示；
(3) 向量组 与向量组 , β等价
(4) 系数矩阵A 与增广矩阵 的秩相等.
从而我们得到线性方程组 (14-1) 有解的判别定理 .
定理14.1 线性方程组(14-1) 有解的充分必要条件是它的系数矩阵 A 与增广矩阵 有相同的秩.
定理14.1 与§4 用Gauss 消元法解线性方程组的判定方法是一致的 . 这是因为, 用行初等变换把 化成阶梯行矩阵 的同时,A 也化成了阶梯行矩阵 B, 并且B 就是由 的前n 列所组成, 因此出现“ ”当且仅当R(A) R( ) -1, 从而方程组无解 否则, 一定有R(A)R( ), 从而方程组有解 .
推论14.2 线性方程组(14-1) 有解时, 如果R(A)n, 那么方程组只有唯一解 如果R(A) lt n, 那么, 方程组有无限多解 .
考虑齐次线性方程组
记
A X ,
式 可写成
AX0
如果 是方程组(14-4) 的解 , 那么
X
称为齐次线性方程组 (14-4) 的一个解向量 , 或称为它的一个解 .
显然,X0 就是齐次线性方程组 (14-4) 的解 . 因此齐次线性方程组解的集合
S
是非空的.
推论14.3 齐次线性方程组 AX0 有非零解的充分必要条件是 R(A)ltn .
显然, 当mn 时, (14-4) 有非零解的充分必要条件是 |A| 0. 特别地, 当 mltn 时, (14-4) 必有非零解.