凹凸函数的性质证明
凹凸函数的性质及其应用？
凹凸函数的性质及其应用？
根据一阶导数的含义，二阶导数是函数一阶导数的导数，代表一阶导数的增减性。函数某点的一阶导数又等于切线的斜率，代表函数图像的增减性。因此，二阶导数代表函数斜率的增减性，体现在图形中就是曲线的凹凸性。
二阶导数为正，代表一阶导数单调递增，曲线在此点周围形状为向下凹；二阶导数为负，代表一阶导数单调递减，曲线在此点周围形状为向上凸。
利用函数图形的凹凸性，证明不等式成立？
(xlnx)(lnx 1)1/x0,forx0
jensen不等式(xlnx ylny)/2(x y)/2*ln((x y)/2)
xlnx ylny(x y)*ln((x y)/2)
所谓用函数图象就是说割线的中点在弧的中点上边。
高等数学：如何求函数的凹凸性和拐点？
一般的，设yf(x）在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。
如果曲线yf(x）在经过点（x0,f(x0））时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x0,f(x0））为这曲线的拐点。
函数的一阶导数为0的点称为函数的驻点，驻点可以划分函数的单调区间。(驻点也称为稳定点，临界点。)驻点和拐点的区别在驻点处的单调性可能改变，在拐点处单调性也可能发生改变，但凹凸性肯定改变。
拐点：二阶导数为零，且三阶导不为零；驻点：一阶导数为零或不存在。驻点和极值点的区别可导函数f(x)的极值点【必定】是它的驻点.但反过来，函数的驻点却不一定是极值点
函数的凹凸性与什么有关？
函数凹凸性与二阶导数的关系：二阶导数反映的是斜率变化的快慢,表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。
f′′(x)gt0,开口向上,函数为凹函数,f′′(x)lt0,开口向下,函数为凸函数。设函数yf(x)在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的`上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的。
为什么二阶导数能判断函数凹凸性？
一阶导数反映的是函数斜率，而二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。f′′(x)gt0，开口向上，函数为凹函数，f′′(x)lt0，开口向下，函数为凸函数。
凸凹性的直观理解：设函数yf(x)在区间I上连续，如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的。
扩展资料
确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤：
1、确定函数yf(x)的定义域；
2、求出在二阶导数f#34(x)；
3、求出使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；
4、判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点。
函数凹凸性与二次导数有关
如果函数某点的一阶导数等于零
该点的二阶导数若大于0,则函数在该点是极小值,函数在该点附近是下凹的
若该点的二阶导数若小于0,则函数在该点是极大值,函数在该点附近是上凸的
若等于0,则该点为拐点
若函数的二阶导数恒大于0,函数是下凹的
若函数的二阶导数恒小于0,则函数上凸的
一阶导数反映的是函数斜率，而二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。f′′(x)gt0，开口向上，函数为凹函数，f′′(x)lt0，开口向下，函数为凸函数。
凸凹性的直观理解：设函数yf(x)在区间I上连续，如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二 一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f#39#39(x)（即二阶导数）gt0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x) f(y)≥2f[(x y)/2]，如果总有f#39#39(x)lt0成立，那么上式的不等号反向。
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f#39#39(x)（即二阶导数）gt0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。