柯西不等式的取等条件怎么来的
二维柯西不等式由来？
二维柯西不等式由来？
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。
二阶柯西不等式推导过程？
当 a1a2an 或 b1b2bn 时,() 式显然成立.
设 a1,a2,,an 中至少有一个不为 0,令
A
n
∑
i1 a
2
i
,B
n
∑
i1 aibi,C
n
∑
i1 b
2
i
,
则 A0.
设二次函数
f(x)Ax2 2Bx C
n
∑
i1 (a
2
i
x2 2aibix b
2
i
)
n
∑
i1 (aix b)2≥0,
∴ Δ(2B)24AC≤0AC≥B2,则 () 式成立.
要使 () 式取等号,即 Δ0,则 f(x) 有唯一零点,
即有唯一实数 x 使
aix bi0(i1,2,,n).
若 x0,则 bi0(i1,2,,n),
若 x≠0,则 ai
1
x
bi(i1,2,,n).
综上,() 式成立,当且仅当 bi0(i1,2,,n) 或 k∈R,aikbi(i1,2,,n) 时取等号.
不等式的推导法则？
高考的题目中，有80%都是中低档难度，也就是说，要想脱颖而出成为佼佼者，压轴题是无论如何都要攻克的难关！
压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。
今天，我就来总结一下不等式的证明方法。
01比较法
所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过
来确定a,b大小关系的方法。前者为作差法，后者为作商法。
但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。
02分析法和综合
这两个方法我们一般会一起使用。
分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。
如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。
我们来看一个例题，已知
如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。
当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。
03反证法
从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。
这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。
反证法证明一个命题的思路及步骤：
1） 假定命题的结论不成立；
2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;
3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;
4） 肯定原来命题的结论是正确的。
04放缩法
在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。
放缩法的目的性强,必须恰到好处,。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。
05数学归纳法
这个方法比较尴尬，容易的题目很好用，难的题目不好用，但是其实可以用。
它的基本思路是对于含有n(n∈N)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(n∈N)时成立的假设下，还能证明不等式在nk 1时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立。
比如下边这个例题，我们可以用数学归纳法，但是重点是放缩和转化求解，这也是难点，所以数学归纳法的尴尬就在这个位置了呢，对于这个方法只能说能用就用，不能用不要勉强。
06其他方法
对于其他的方法，有换元法，均值不等式法，求导法，不一一说明，因为这几个都很常见。
还有一个要重点说明一下就是柯西不等式，这个是大学才学的内容，但是有些压轴题目就是用这个不等式求解的，所以咱们介绍一下这个方法。
柯西不等式可以说是我们均值不等式的高级一些的形式，证明思路也是和我们的均值不等式差不太多，所以大家对于一些知识的来源要注重一下，因为这是我们创新的基础。
好啦，不等式的证明方法很多种，本文仅仅总结一些常见的方法，大家做题的时候要好好思考，好好的做一下，才能真正的学有所得。