线性代数向量相关性的七个定理
线性代数定理?
线性代数定理?
线性代数基本定理是秩为r的m×n 矩阵A的奇异值分解:
对于矩阵(有列及行)产生了四个基本线性子空间:
Secondly:
In,, 也就是, 零空间与行空间的正交补相同.
In,, 也就是, 左零空间为列空间的正交补.
子空间的维数遵从秩-零化度定理.
进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子,对偶空间与:的核与像是的上核与余象.
k如何看向量组线性相关性?
定义法令向量组的线性组合为零,研究系数的取值情况,线性组合为零当且仅当系数皆为零,则该向量组线性无关;若存在不全为零的系数,使得线性组合为零,则该向量组线性相关。
线性相关定理
在线性代数里,矢量空间的一组元素中,若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示,则称为线性无关或线性独立,反之称为线性相关。
例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1,0,0),(0,1,0)和(0,0,1)线性无关;但(2,1,1),(1,0,1)和(3,1,2)线性相关,因为第三个是前两个的和。
线性无关和线性相关
1、对于任一向量组而言,不是线性无关的就是线性相关的。
2、向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。
3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。
4、含有相同向量的向量组必线性相关
二阶向量组线性相关性的判定?
在向量空间V的一组向量A:a1,a2,,如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使
则称向量组A是线性相关的,否则数 k1, k2, ···,km全为0时,称它是线性无关。
由此定义看出a1,a2,是否线性相关,就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看k1a1 k2a2 这个齐次线性方程组是否存在非零解,将其系数矩阵化为最简形矩阵,即可求解。
此外,当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时,这个系数矩阵存在行列式为0,即有非零解,从而a1,a2,线性相关。
扩展资料:
线性相关注意事项:
1、对于任一向量组而言,不是线性无关的就是线性相关的。
2、向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。
3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。
4、含有相同向量的向量组必线性相关。
5、增加向量的个数,不改变向量的相关性。
空间向量基本定理:
1、共线向量定理
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使aλb
2、共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使cax by
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使pxa yb zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底,零向量的表示唯一